Formas Canónicas,  Simplificación de funciones Booleanas y método  de Karnaugh

Formas Canónicas

Partiendo de una tabla de verdad, podemos obtener varias  expresiones para la misma función. Existe una equivalencia entre todas esas expresiones y se puede obtener unas expresiones de otras aplicando las propiedades, axiomas y teoremas  del Álgebra de Boole.

Existen dos tipos de expresiones que se obtienen directamente de la tabla de verdad, de forma inmediata. Se denominan formas canónicas. Se caracterizan porque en todos los términos de estas expresiones aparecen todas las variables.

Una función expresada  en la primera forma canónica tiene la característica de estar formada por una suma de productos, cada uno de los cuales se denomina minitermino.

Un ejemplo de una función de 3 variables, expresada en la primera forma canónica es la siguiente:

                            _          _     _                   

F = a . b . c + a . b . c + a  .  b  .  c

Esa función está constituida por la suma de tres términos  o miniterminos y en cada uno de los términos aparecen todas las variables.

Para la obtención de la primera forma canónica, a partir de una tabla de verdad debemos fijarnos en aquellas filas de la tabla donde el valor de la función vale ’1’,  y  nos olvidamos del resto. 

Por cada una de estas filas tendremos un sumando, constituido por el producto de todas las variables, aplicando la regla siguiente:

Si una variable vale  ’0’, en la fila tomada, colocaremos  la variable negada, y si vale ’1’ colocaremos  la variable sin negar.

Obtener la primera forma canónica, a partir de la siguiente tabla de verdad

a	b	c	F
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Podemos observar que en solo tres filas la función vale “1”, son ellos los que vamos a tomar en cuenta para formar nuestra función, la cual estará conformada por la suma de esos tres términos o miniterminos.

                                                    _   _   

El primer minitermino  m₁ = a . b . c  

                                                         _

El siguiente minitermino  m₂ = a . b . c

El siguiente minitermino será  m₃ = a . b . c

                                                         _   _           _

La función quedara como:   F = a . b . c   + a . b . c   + a . b . c   

La función en la segunda forma canónica estará formada por un producto de  sumas y en todos sus términos o Maxiterminos  aparecen todas las variables negadas o no.

Para la obtención de la segunda forma canónica, a partir de una tabla de verdad debemos fijarnos en aquellas filas de la tabla donde el valor de la función vale ’0’,  y  nos olvidamos del resto. Por cada una de estas filas tendremos un multiplicando, constituido por la suma de todas las variables, aplicando la regla siguiente:

Si una variable vale  ’0’, en la fila tomada, colocaremos  la variable sin negar, y si vale ’1’ colocaremos  la variable negada.

En nuestro ejemplo tenemos 5 Maxiterminos, por lo que la función será:

                                              _           _              _    _      _

         F = (a + b + c). (a + + b + c). (a + + b + c). (a +  b + c)

Simplificación de funciones booleanas

En el diseño de circuitos digitales se utilizan funciones booleanas para describirlos, pero antes de implementarlos y convertirlos en componentes electrónicos (compuertas lógicas) debemos simplificar al máximo para utilizar el menor número posible de componentes electrónicos.

La  simplificación podemos realizarla de dos maneras distintas:

Utilizando las propiedades y Teoremas del Álgebra de Boole. Para ello se debe dominar muy bien el uso de esas propiedades y teoremas. Este método es conocido como “Método Analítico de simplificación de funciones”.

La otra manera es utilizando el método de Karnaugh. El cual es un método gráfico que bien aplicado, nos garantiza que obtendremos la función más simplificada posible, a partir de una tabla de verdad.

Método de Karnaugh

Karnaugh cero un método, el cual si se sigue paso a paso, nos garantiza llegar a la mayor simplificación posible.

Para estudiar esos pasos, lo haremos mediante un ejemplo.

Tenemos la siguiente tabla de la verdad de un circuito de tres variables.

a	b	c	F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

1.- Obtenemos la forma canónica de la función, en este caso lo haremos con los miniterminos.

                          _     _     _                _  _        _                 _

                   F = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c

2.- Construimos una matriz donde en cada celda va a estar contenido el resultado de la función correspondiente a cada una de las combinaciones de variable que aparecen en la tabla de la verdad.

Se puede hacer una matriz de cuatro por dos o una de dos por cuatro, lo importante es que puedan estar representadas las 8 posibles combinaciones de variables.

El contenido de cada celda es igual al valor que adquiere  la función con cada una de las posibles combinaciones. En el primer caso cada fila corresponde a las posibles combinaciones de las variables “a” y “b” y la columna corresponde a los valores que puede tener la variable  “c”.

En el segundo caso las filas corresponden a los valores que puede tener la variable “a” y las columnas corresponden a las posibles combinaciones de las variables “b” y “c”.