Formas Canónicas, Simplificación de funciones Booleanas y método
de Karnaugh
Formas Canónicas
Partiendo de una tabla de verdad, podemos obtener varias expresiones para la misma función. Existe una
equivalencia entre todas esas expresiones y se puede obtener unas expresiones
de otras aplicando las propiedades, axiomas y teoremas del Álgebra de Boole.
Existen dos tipos de expresiones que se obtienen directamente de la tabla
de verdad, de forma inmediata. Se denominan formas canónicas. Se caracterizan
porque en todos los términos de estas expresiones aparecen todas las variables.
Una función expresada en la primera
forma canónica tiene la característica de estar formada por una suma de
productos, cada uno de los cuales se denomina minitermino.
Un ejemplo de una función de 3 variables, expresada en la primera forma
canónica es la siguiente:
_ _ _
F = a . b . c + a . b . c + a . b . c
Esa función está constituida por la suma de tres términos o miniterminos y en cada uno de los términos aparecen
todas las variables.
Para la obtención de la primera
forma canónica, a partir de una tabla de verdad debemos fijarnos en aquellas
filas de la tabla donde el valor de la función vale ’1’, y nos olvidamos
del resto.
Por cada una de estas filas tendremos un sumando, constituido por el
producto de todas las variables, aplicando la regla siguiente:
Si una variable vale ’0’, en la fila tomada, colocaremos la variable negada, y si vale ’1’ colocaremos
la variable sin negar.
Obtener la primera forma canónica, a partir de la siguiente tabla de verdad
a
|
b
|
c
|
F
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
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0
|
1
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0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Podemos observar que en solo tres filas la función vale “1”, son ellos los
que vamos a tomar en cuenta para formar nuestra función, la cual estará conformada
por la suma de esos tres términos o miniterminos.
_ _
El primer minitermino
m1 = a . b . c
_
El siguiente minitermino m2 = a . b . c
El siguiente minitermino será m3 = a . b . c
_ _
_
La función quedara como: F = a .
b . c + a . b . c + a . b
. c
La función en la segunda
forma canónica estará formada por un producto de sumas y en todos sus términos o Maxiterminos aparecen todas las variables negadas o no.
Para la obtención de la segunda
forma canónica, a partir de una tabla de verdad debemos fijarnos en aquellas
filas de la tabla donde el valor de la función vale ’0’, y nos olvidamos
del resto. Por cada una de estas filas tendremos un multiplicando, constituido
por la suma de todas las variables, aplicando la regla siguiente:
Si una variable vale ’0’, en la fila tomada, colocaremos la variable sin negar, y si vale ’1’
colocaremos la variable negada.
En nuestro ejemplo
tenemos 5 Maxiterminos, por lo que la función será:
_ _ _ _ _
F = (a + b + c). (a + + b + c). (a + +
b + c). (a + b + c)
Simplificación
de funciones booleanas
En el diseño de circuitos
digitales se utilizan funciones booleanas para describirlos, pero antes de
implementarlos y convertirlos en componentes electrónicos (compuertas lógicas) debemos
simplificar al máximo para utilizar el menor número posible de componentes
electrónicos.
La simplificación podemos realizarla de dos
maneras distintas:
Utilizando las
propiedades y Teoremas del Álgebra de Boole. Para ello se debe dominar muy bien
el uso de esas propiedades y teoremas. Este método es conocido como “Método Analítico
de simplificación de funciones”.
La otra manera es utilizando
el método de Karnaugh. El cual es un método gráfico que bien aplicado, nos garantiza
que obtendremos la función más simplificada posible, a partir de una tabla de verdad.
Método de
Karnaugh
Karnaugh cero un método,
el cual si se sigue paso a paso, nos garantiza llegar a la mayor simplificación
posible.
Para estudiar esos pasos,
lo haremos mediante un ejemplo.
Tenemos la siguiente
tabla de la verdad de un circuito de tres variables.
a
|
b
|
c
|
F
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1.- Obtenemos la forma canónica
de la función, en este caso lo haremos con los miniterminos.
_ _
_ _ _
_ _
F = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.c
2.- Construimos una
matriz donde en cada celda va a estar contenido el resultado de la función correspondiente
a cada una de las combinaciones de variable que aparecen en la tabla de la
verdad.
Se puede hacer una matriz
de cuatro por dos o una de dos por cuatro, lo importante es que puedan estar
representadas las 8 posibles combinaciones de variables.
El contenido de cada
celda es igual al valor que adquiere la función
con cada una de las posibles combinaciones. En el primer caso cada fila
corresponde a las posibles combinaciones de las variables “a” y “b” y la
columna corresponde a los valores que puede tener la variable “c”.
En el segundo caso las
filas corresponden a los valores que puede tener la variable “a” y las columnas
corresponden a las posibles combinaciones de las variables “b” y “c”.
